On rappelle dans un premier temps les principaux résultats d'analyse convexe et de théorie du signal. Ces outils sont appliqués à la modélisation et à la résolution numérique de problèmes de traitement du signal et de l'image.
Modélisation mathématique des signaux
Théorie des systèmes linéaires, filtrage
Tranformées (Z, Fourier, Fourier rapide)
Méthodes classiques d'inversion (Filtres pseudo-inverse, Wiener, Gerchberg-Papoulis, Landweber, etc)
Ensembles convexes, meilleure approximation
L'algorithme de Youla
Théorie des fonctions convexes
Sous-différentiabilité. Construction et propriétés du projecteur sous-différentiel.
Algorithme de Polyak, généralisations / extrapolation, applications aux problèmes d'admissibilité.
Conjugaison, principe de dualité de Fenchel.
Optimisation convexe.
Problèmes variationnels, décomposition, algorithmes proximaux, algorithmes visqueux.
Analyse et synthèse proximales d'un signal.
Applications : Synthèse de signaux sous des contraintes incompatibles, seuillage itératif sous contrainte de parsimonie, méthode Youla-Velasco, déconvolution sous contraintes, extrapolation et interpolation non linéaires, reconstruction tomographique, synthèse de filtres, analyse hiérarchique et décomposition, décomposition contrainte sur des trames.
Pour suivre ce cours, il est recommandé de suivre d'abord le cours NM412 du parcours Optimisation, Jeux et Modélisation en Économie.